Không gian Euclide cần nhiều thứ hơn không gian với tọa độ thực. Để áp dụng hình học Euclide cần có khái niệm khoảng cách giữa hai điểm và góc giữa hai đường hoặc hai vectơ. Một cách tự nhiên ta sử dụng tích vô hướng chính tắc (còn được gọi là tích chấm trên Rn. Tích vô hướng của hai vectơ x và y được định nghĩa bởi

x ⋅ y = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.}

Kết quả là một số thực. Thêm nữa, tích vô hướng của x với chính nó luôn luôn không âm. Tích này dẫn tới định nghĩa "độ dài" của vectơ x như sau

‖ x ‖ = x ⋅ x = ∑ i = 1 n ( x i ) 2 . {\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i})^{2}}}.}

Hàm độ dài này thỏa mãn tính chất của chuẩn và được gọi là chuẩn Euclide trên Rn.

Góc (không có hướng) θ (0° ≤ θ ≤ 180°) giữa x và y được cho bởi

θ = cos − 1 ⁡ ( x ⋅ y ‖ x ‖ ‖ y ‖ ) {\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|}}\right)}

trong đó cos−1 là hàm lượng giác ngược arccos.

Cuối cùng, có thể dùng chuẩn để định nghĩa một metric (hay hàm khoảng cách) trên Rn bằng

d ( x , y ) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n ( x i − y i ) 2 . {\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}

Khoảng cách này được gọi là khoảng cách Euclide. Nó là hình ảnh của định lý Pytago.

Không gian các tọa độ thực cùng với cấu trúc Euclide được gọi là không gian Euclidean và thường được ký hiệu là En. (Nhiều tác giả dùng Rn cho cả không gian Euclide). Cấu trúc Euclide làm cho En trở thành một không gian với tích vô hướng (hơn nữa là một không gian Hilbert), một không gian vectơ định chuẩn, và một không gian metric.

Phép quay của không gian Euclidean được định nghĩa như phép biến đổi tuyến tính T bảo toàn góc và độ dài:

T x ⋅ T y = x ⋅ y , {\displaystyle T\mathbf {x} \cdot T\mathbf {y} =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} ,} | T x | = | x | . {\displaystyle |T\mathbf {x} |=|\mathbf {x} |.}

Theo ngôn ngữ ma trận, phép quay là một ma trận trực giao.